小 鹰
牛顿力学中，引力质量 \(m\) 的质点受到引力质量 \(M\) 的引力 \(\vec{F}\) 为：
$$\vec{F} = -\dfrac{GMm}{r^3}\,\vec{r} \tag{1}$$式中，\(G\) 为引力常数，\(r\) 为兩质点间的距离，\(\vec{r}\) 是 \(M\) 到 \(m\) 的方向矢量。
质点 \(m\) 在 \(M\) 的引力场中的势能 \(U\) 为：
$$ U(r)=-\dfrac{GMm}{r} \tag{2}$$在广义相对论里，在史瓦兹希德(Schwarzshild)球对称中心引力场 \(M\) 中，因时空度规不再平直，质点 \(m\) 的势能比(2)式多出了一项。
$$ U(r)=-\dfrac{GMm}{r} - \dfrac{GML^2}{mc^2r^3} \tag{3}$$式中，\(L\)为角动量，\(L=rmv_\perp\)，\(v_\perp\)为粒子 \(m\) 垂直于方向矢量 \(\vec{r}\) 的速度分量，\(c\)为光速。
由此，可求出 \(m\) 受到 \(M\) 的引力为：
$$\begin{aligned} \vec{F} &= -\dfrac{\partial U(r)}{\partial r}\,\hat{r}_0 \\ &= -\dfrac{GMm}{r^3}\,\vec{r} \;-\; \dfrac{3v_\perp^2GMm}{c^2r^3}\,\vec{r} \end{aligned} \tag{4}$$按照牛顿第二定律，惯性质量为 \(m\) 的质点运动方程为：
$$\vec{F} = m\vec{a} = m\,\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} \tag{5}$$令(5) = (4)，如果认为质点 \(m\) 的引力质量与惯性质量相同，左右消去\(m\)後，则可得到它运动的二阶微分方程：
$$\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = -\left(1 + \dfrac{3v_\perp^2}{c^2}\right)\dfrac{GM}{r^3}\,\vec{r} \tag{6}$$在二维直角坐标系中，对于粒子 \(M\) 和 \(m\)，可按(6)式分别写出其 \(x\) 与 \(y\) 向的运动方程，经去量纲化和降阶处理後可得\(8\)个一阶方程，然後应用Runge-Kutta数值法，分别求出每个粒子的瞬时座标和速度，并绘出它们的轨迹。
讨论 一
1859年，法国天文学家勒威耶(Leverrier)发现，即使计及其余七大行星的摄动，甚至包括太阳扁率的影响在内，水星绕日轨道的进动(precession)观测值仍比预期值要多出每百年\(43\)弧度秒。
1915年，爱因斯坦发表了广义相对论，在修正计算引力运动的牛顿方程之後，他可以精确地算出这丢失的\(43\)弧度秒。
百余年来，我们看到的对广义相对论的解释，以及其场方程的解析解，多是些理论和数学推导，不少读者面对复杂的公式和奇怪的符号，难以理解，只能望而生畏、却步不前，“人云亦云”地把它归因为一句“时空弯曲”。
然而，进动毕竟是个经典力学的问题。本文试图通过受力分析与数值求解，定性地、且直观和形象地把广义相对论的一些概念讲清楚。
图一表明，如果太阳 \(M\) 只有一个行星 \(m\)，按照牛顿力学，\(m\) 将沿椭圆轨道稳定地绕日运行，没有进动。
图一
然而，从(4)式可以看出，按照广义相对论，在引力场中运动的粒子的受力，比牛顿力学的(1)式要多出一项来。我们的数值计算显示，正是这一项正比 \(\dfrac{v_\perp^2}{c^2}\) 的微小力，导致行星绕日的运动轨道出现如图二的进动。
图二
在水星的情形，由于它最靠近太阳，且椭圆轨道的高偏心率，使之近日点 \(r\) 变得很小，此处的 \(v_\perp\) 为最大，因此在强大的太阳质量附近，这种源於广义相对论效应的微小进动变得可以被直接观察到。
讨论 二
有了“力”，并做了模拟与对比，这项长久无法解释的“多余”的进动似乎就容易理解了。
但细心的读者可能并不满足，他们会追问道：“那这‘力’又是从哪里冒出来的呢？”
的确，这多出来的引力项很有些奇怪，它与 \(v_\perp\) 有关，如果粒子 \(m\) 在 \(M\) 场中静止，或只沿径向 \(\vec{r}\) 运动，此力就不存在。这是为什么？
要理解这点，恐怕还是要回到“时空弯曲”上去了。
试想一列沿弯道运行的火车，由于惯性，车轮对外轨道挤压，而固定在地面的外轨道则对车轮有一种约束力，也正是这个约束的存在，才使火车得以沿弯道运动。
同样，一个粒子在强引力场中运动，如果时空是平直的，按照牛顿力学，粒子所受到的引力刚好平衡了因其惯性而产生的离心力，故它得以在引力场中精准地沿二次曲线运动。
然而，按照广义相对论，时空是物质存在的属性，引力场是一种物质，其时空是弯曲的，粒子在其中的非径向运动“挤压”了周围的时空──“铁轨”，那“时空”本身也会以同样的“力”来回应，构成对该粒子运动附加的约束。这种来自引力场时空 “约束”的表现，就是椭圆轨道本身的进动。
总之，找到来自“时空弯曲”的“力”，或许就抓住了理解广义相对论的要点。
写于2026年3月22日。
讨论 三
如前所述，水星绕日轨道的进动观测值 (574.10 ± 0.65) 比经典理论的计算预期值 (531.66 ± 0.69)，每百年要多出约 8% ──42.44弧度秒。
这个问题困惑了天文学家长达半个多世纪，他们做了各种尝试解释，都不成功。直到1915年爱因斯坦发表广义相对论，通过修正後的引力场方程的解析解，他精确地算出了这“丢失的”8% 的进动量──42.98 ± 0.04 弧度秒。
此後，学界广泛地接受了广义相对论所带来的物理学新观念。
但也一直也有人抵触这个新的时空观，不屑地认为那只是一个“巧合”而已。而华人学者王令雋教授则将这个精细的修正量“轻描淡写”地贬低为“在测量误差”以内，因而“没有意义”。
他写道：
“那么，广义相对论计算出来的 0.8% 有没有意义呢？没有。除非实验观测和经典理论计算的误差大大小于 0.8%，否则广义相对论计算出来的 0.8%的修正量便没有丝毫意义，这是误差理论的常识。
……
此外，还有其他可能造成水星近日点移动的因素，比如太阳本身并不是完美的球体，而是一个扁球体，而且因为不能假定太阳体内质量分布均匀，所以它的总体偏心率可能比观测到的光球面的偏心率大。这就很容易造成1%的贡献。有人认为广义相对论计算出的水星近日点移动的数值正好等于经典理论计算的微小误差不过是巧合。
总而言之，仅仅因为广义相对论算出了 0.8% 的移动，就把它当作实验证据，是非常不严肃的。”
王令隽，《广义相对论百年》， 2/19/2015
王在文中宣称误差是 0.8% 而不是 8%，是因为他把地球观测者自身运动带来的约5557.18弧度秒也算进来了，以便在视觉上掩盖牛顿力学计算中那 8% 进动误差的尴尬。
王这样替牛顿力学辩解道：
“事实是，经典物理学能够解释水星近日点的移动的。只是由于问题过于复杂，只能诉诸过于简单的模型进行近似计算，才使得经典理论的计算数值只相当于实际观测值的99.2%，而广义相对论计算的结果只相当于实际观测值的0.8%。应该说，经典理论的成绩相当不错。”
我对王教授质疑的回应是：
第一，是的，物理学中许多理论计算都需要简化模型，才可以抓住要点估算，对于星体进动也不例外。但应该指出的是，以往天文学家用的模型和算法，不只是对水星，而是对所有行星都使用过的。
表一分别列出水星和地球绕日轨道进动量的计算及观测值。
从表中地球的数据来看，其进动量的经典计算结果与观测值只有 0.4% 的差异──即使如此，广义相对论仍旧够能在测量误差范围内完美地填补上这个微小的差值。
如果对其它行星进动的经典估算也都如此符合观测结果，就说明这个简化的模型基本上是成熟和可靠的，而不是如王教授“一言以弊之”的那样，断言 “这种过分简单的模型产生的误差非常可能超过10%。”
而另一方面，同样的经典模型，唯有在计算水星进动时与观测值存在瞩目的 8% 的误差，那就要认真地找找原因了。
这就是为什么一些严肃的科学家，如法国天文学家勒威耶，会郑重地提出这个问题来。这恐怕也是促使爱因斯坦研究引力理论，并试图解决它的一个动力。
物理学史上，这类理论与观测不符的例子有很多，例如，经典热力学中引起“黑体辐射”所谓“紫外灾难”的瑞利─金斯公式，以及否定“以太”的迈克尔逊─莫雷干涉实验。它们被开尔文勋爵(威廉·汤姆森)在20世纪之初喻为是经典物理学上空的两朵“乌云”。
显然，要是固守牛顿力学的一切都是“花好月圆”，以为物理学家今後只需要在小数点六位之後做些工作了，要是没有汤姆森、普朗克和爱因斯坦等人的警戒、担忧和执著不懈的努力，便不会有今日量子力学和相对论等现代物理学的蓬勃发展。
第二，关于太阳扁率对水星进动的影响，最新的估算每百年只有0.0254弧度秒，而不是如王教授所夸张的那样：误估“太阳体内质量分布”，“这就很容易造成1%的贡献”，或56弧度秒！
第三，除了水星进动，远处星光在太阳附近的偏折，以及光谱的引力红移都是广义相对论的实验验证。
尤其是，2015年9月14日，人类首次探测到来自宇宙深空的引力波，从实验上证实了爱因斯坦和罗森(Nathan Rosen)在1937年发表的那篇题为《论引力波》论文的推测。
2016年2月11日，美国激光干涉引力波天文台(LIGO)团队于华盛顿举行的一场记者会上宣布人类对于引力波的首个直接探测结果。所探测到的引力波来源于双黑洞融合。两个黑洞分别估计为29及36倍太阳质量，这是物理学史上首次由地面直接成功探测到引力波。
所有这些成就都是牛顿力学根本无法企及的，更不会“只是巧合”吧？
而提到引力波，也不应不谈一下近来与双星有关的天文观测。
以下是维基百科的报导。
根据广义相对论，两个互相绕转的质量，例如双星系统，会发出引力辐射，由引力辐射损失的能量会让它们的轨道稍微偏离测地线方程所得到的结果。关于这一问题的最著名间接验证是由拉塞尔·赫尔斯(Russell Hulse)和约瑟夫·泰勒(Joseph Taylor)对一个脉冲双星PSR B1913+16的观测，两人因此获得1993年的诺贝尔物理学奖。
该双星系统内的两颗中子星距离非常接近，且绕转速度非常之快，测量到的一个周期时长大约仅为465分钟。两颗中子星的轨道是高度椭圆的，偏心率达到0.62。按照广义相对论的预言，这样短的轨道周期和高度的偏心轨道使得这个双星系统成为一个非常好的引力波源，通过引力辐射损失的能量使轨道逐渐衰减，轨道周期逐渐变短。通过长达三十年的实验观测，即使是在最精确的测量下，轨道周期的降低和广义相对论的预言仍符合得相当好。广义相对论还预言，再过三亿年后这两颗恒星最终会碰撞到一起。
右图显示，实验上观测到的脉冲双星PSR B1913+16的轨道周期变化(图中蓝色的点)和广义相对论的理论预测(图中黑色的曲线)完全吻合。
2003年发现的双脉冲星系统PSR J0737-3039，其近星点进动率为16.90°每年。与赫尔斯─泰勒双星不同，这系统的两颗中子星均为脉冲星，科学家因此能够精确观察这系统中的两个天体。另外，两颗中子星之间非常接近，轨道平面几乎侧向对着地球，而且从地球观测的横向速度很低，所以该系统是至今用来测试广义相对论有关强引力场预言的最佳双星系统。几种不同的相对论性效应已被观察到，包括类似于赫尔斯─泰勒系统中的轨道衰变。在进行观察两年半后，人们已经可以进行4项检验广义相对论的独立实验。最精确的一种为夏皮罗实验，结果与理论预测的偏差不超过0.05%(然而每公转周期的近星点位移只是圆周的大约0.0013%，因此这并不是高阶的相对论实验)。
2013年4月25日，一组国际天文学者团队发表论文表示，由脉冲星PSR J0348+0432与白矮星组成的大质量联星，因为发射引力波而释出能量，其以螺旋型运动彼此互相靠近的速率，轨道周期衰变为8百万分之一秒每年，符合广义相对论的预测。这是至今为止对于广义相对论最严格的检验。
不知道王令雋教授对这些对广义相对论新的检测又有没有什么评论？特别是，对“引力波”有什么意见吗？
无论如何，物理学，和一个健康的社会一样，她的发展需要有“言论自由”，需要有“学术批评和反批评的权力”，需要有“反对派”，当然，也更需要有实践不断的检验。
毕竟，“真理是由争论确立的，历史的事实是由矛盾的陈述中清理出来的，……。”
──这就是“争论的价值”。
写于2026年4月4日。
To read in English:
Jim Shao："A Numerical Solution to the Gravitational Field Equation"
http://www.azcolabs.com/xy_2BD_Eng.html
参考阅读：
小鹰：《文革中我参加过的“相对论批判”》 (2018年6月)
小鹰：《争论的价值──犹太文化的启示》 (2020年8月) (附照片)
小鹰：《三体问题》 (2024年4月28日)(附照片及视频)
小鹰：《熵与状态》 (2023年10月17日)
小鹰：《闭卷判分 名人归零》 (2019年4月)
小鹰：《兰顿氏蚁》 (2017年8月)(附照片及视频)